必发bifa88网页版-必发娱乐官方网站手机版

讲亏盈类问题的解法,对本学期他们所学过的数

2019-10-14 14:38栏目:历史事件
TAG:

1983年12月,考古人员从湖北江陵张家山247号汉墓发掘出一批竹简,随后从中整理出一部不见于著录、早已失传的古代数学专著——《筭数书》。 与《筭数书》同时整理出来的古代文献还有《二年律令》《奏谳书》《盖庐》《脉书》《引书》“历谱”等。“历谱”所记最后一年是西汉吕后二年,即公元前186年,估计墓主死亡不会距此太远。所以,考古人员认定《筭数书》成书年代的下限是西汉吕后二年,实际成书时间应当早于此年,可能是秦代或先秦的著作。 《筭数书》的出土,引起国际数学史界的注意。2002年8月15日至18日在西安举行的数学史国际会议上,来自美国的数学史专家道本(JosephW.Dauben)做了“关于《筭数书》的初步研究”的报告,美国加州大学圣迭戈分校的美籍华人科学史专家程贞一做了“《筭数书》和盈不足方法”的报告,中国的几位学者也做了有关《筭数书》的研究报告。《筭数书》的研究成为这次大会的一个讨论热点。 《筭数书》是一部数学问题集。全书有近七十个题名。题名有的以计算方法命名,如“相乘”、“分乘”、“约分”、“合分”、“径分”等;也有的以该题正文中的主题词命名,如“共买材”、“狐出关”、“息钱”、“饮漆”、“税田”、“贾盐”、“粟求米”、“负炭”、“分钱”、“方田”、“囷盖”、“以圜材方”、“以方材圜”、“里田”等。该书依“题——答——术”的体例编写。“题”,指命题,即数学问题;“答”,指解答,即对例题的解答;“术”,指由例题的解答归纳出该类问题的一般算法。全书按照内容可以分为两类:一类是整数和分数的四则运算法则;另一类是跟当时生产、生活实际密切相关的各种应用题及解法。如“羽矢”是有关造箭的应用题、“旋粟”是有关农业估产的应用题、“息钱”是有关借贷的应用题。依现代数学分类法,这些应用题有的属于算术问题,有的属于几何问题。考古人员认为,《筭数书》可能是秦汉官吏,尤其是负责经济管理工作的官吏学习数学知识的课本和工具书。 《筭数书》涉及的算术知识包括整数、分数、比例、盈不足等问题。书中没有完整地叙述整数的运算,只是专门提出了整数的进位,“一乘一,十也;一乘十万,十万也;十乘十万,百万。十乘千,万也;十乘万,十万也;十乘十万,百万;十乘百万,千万。百乘万,百万;千乘万,千万。半乘百,五十;半乘千,五百;半乘万,五千。”其间各数全都是十进位制。十进位值制记数法简捷、明快、实用,运算方便。马克思称之为人类“最美妙的发明之一”。中国是世界上最早使用“十进位值制”记数法的国家。古代埃及采用的是“十进累计制”记数法;古巴比伦采用的是“六十进位值制”记数法;印度虽然采用的是“十进位值制”记数法,但已到了了公元6世纪。“十进位值制”记数法是中国对世界数学的卓越贡献。商周的甲骨文和钟鼎文中已有了系统的个位、十位、百位乃至万位的自然数数字,大于十的自然数都用十进位制。从殷商到战国时期,整数的加减乘除应当是很普通的算术知识,所以《筭数书》中不必再叙述了。但在“里田”的标题下,该书提出了以平方里为单位面积的土地折合成顷亩的整数简便运算方法。按照一般算法,求一平方里所合顷亩数,须先将一里化作300步,然后相乘,得若干平方步,再除以240平方步,得到亩数,计算很复杂。“里田术”提出两种解法,其一是:“里乘里,里也;广从各一里,即直一,因而三之,有三五之,即为田三顷七十五亩。”用算式表示为: 1里×1里=1平方里 1平方里×3=3 (即直一,因而三之。) 3×5×5×5=375亩 =3顷75亩 其二是:以第一种解法的结果为基础,即一平方里等于3顷75亩,根据乘法分配律,与任何数值的平方里相乘即得顷亩数。这种“里田术”应当是秦汉管理赋税的官吏必须掌握的算术知识。 《筭数书》全面介绍了分数的性质和运算法则,包括通分、约分、分数的括大、缩小及四则运算。有关比例的计算题约占全书内容的一半,有正比例、反比例,分配比例、连比例、复比例,包含了现代数学全部的比例类型。《筭数书》中还有三道盈不足的问题。典型例题是“分钱”,“分钱人二而多三,人三而少二,问几何人,钱几何?得曰:五人,钱十三。术曰:嬴不足五乘母,(初中历史 www.lishixinzhi.com)并之为实,子相从为法。皆赢若不足,子互乘母而各异直之,以子少者除子多者,余为法,以不足为实。”其解法为:根据题目所给条件列成2/3,3/2;分子部分各是盈,不足之数。它们交叉相乘得4和9.以4+9作被除数,以分子2+3作除数,得13/5,此为每人分得钱数。按“置所出率,以少减多,余,以约法,实”,即3-2=1,故得钱数13,人数5.通过两次假设——盈和不足,使不能用算术方法直接求解的问题获得解答。 《筭数书》涉及的几何知识包括面积和体积两个方面的问题。面积有9个题名,其中6个题名是有关土地面积计算的。它们是“里田”、“少广”、“启广”、“启从”、“大广”和“方田”。另外,“缯幅”,涉及面积求法;“以睘材方”和“以方材睘”是介绍圆与内接正方形与内切圆之间关系的问题。体积有6个题名。它们是“除”、“郓都”、“刍”、“旋粟”、“囷盖”和“睘亭”。它们介绍了正圆锥体、圆台体、楔形体、上、下底为矩形的长方台体等六种形状几何体体积的求解方法。这些知识应当跟战国时期筑城、挖壕、建仓和造房等工程的兴建、维修计算工作量并合理分配劳动力有关系。 《筭数书》比传世的《九章算术》成书年代约早200年。它的出土,使我们了解到公元前2世纪,甚至更早一些时候,中国数学发展的水平和数学专著的编纂水平,形成以下几点认识: 第一,《筭数书》记录了当时世界上最先进的分数四则运算和比例算法。科学的分数概念和运算法则,是中国古代数学家建立起来的。古埃及人曾有比较完整的分数形式,但由于太繁复,不便于运算。这就影响了古埃及算术的发展,后来也给希腊数学的发展设置了障碍。在希腊数学中缺乏分数约分和通分的法则,分数四则运算则更在其后。公元7世纪,系统的分数概念和运算法则才在印度流行,而欧洲还要迟得多。 第二,盈不足术在中国出现的时间不会晚于公元前2世纪。在阿拉伯和欧洲早期的数学著作中,它被称为“契丹算法”。“契丹”是当时西方和阿拉伯人对中国的称呼。由此可见,盈不足术是中国古代数学家的独创。公元9世纪阿拉伯数学家花剌子密提出双假设法比中国古代数学家的盈不足术要晚一千多年。中国的盈不足术是以比率理论为依据导出的一种算法化的演算程式。它给不明算理的人提供了可按程序操作的应用方法,把算术应用推到顶峯。 第三,《筭数书》中的题名“除”,即羡除。依魏晋之际杰出数学家刘徽的解释:羡除,“实为隧道也。”按例题所述是楔形体,其体积求解公式是中国古代数学家的首创。 第四,《筭数书》采用“题——答——术”的编纂体例具有注重实用,着眼发展,便于普及的优点。例题提出的数学问题来源于社会实践,伴随着社会实践的发展,可以不断收纳新的问题,推动数学发展。例如从春秋战国时期起,漆器逐渐兴起,到秦汉时期终于取代了青铜器。生产漆器对生漆的需要量不断加大。而漆树只能生长在黄河中游的部分地区和长江流域的部分地区,产量很有限。为了保证生漆的供应,政府在生漆产地设立漆园,派专门官吏管理。生漆要饮水,饮水的多少决定生漆的质量。法律规定,征收生漆要到官府试水、饮水。管理者必须掌握饮水的计算方法。《筭数书》中“饮漆”,就是这种测试生漆质量的计算方法。它纳入《筭数书》肯定比“方田”要晚。在解决问题的方法上,由具体事例入手,然后归纳出同类问题的一般解决办法,即“答”后面的“术”。从全书的体例结构看,它是一种开放的归纳体系。这种编纂体例直接影响着《九章算术》,并成为中国古代数学著作的传统。

图片 1

中国和伊斯兰国家的接触,很早的时候就已开始,在宋元时期有了更进一步的发展。在数学方面,见于记载最早对于欧几里得《几何原本》有所研究的人是成吉思汗之孙蒙哥。《多桑蒙古史》称:“成吉思汗系诸王以蒙哥皇帝较有学识,彼知解说Euclid之若干图式。”①蒙哥是通过《几何原本》的阿拉伯文译本而了解古希腊数学的。1271年,元世祖忽必烈下令在上都设立回回司天台,由着名天文学家波斯人札马鲁丁领导。回回司天台的主要任务是编制回历,供我国信仰伊斯兰教的民族使用。明朝钦天监中仍设有回回科,直到清康熙时才撤销,专门编制回历的机构前后共设置四百余年。在这一时期,伊斯兰国家的天文数学知识陆续传入我国。据元朝王士点、商企翁着《秘书监志》记载,当时回回司天台曾收藏有多种阿拉伯文数学书籍,如:兀忽列的四擘算法段数十五部,罕里速窟允解算法段目三部,撤唯那罕答昔牙诸般算法段目并仪式十七部,呵些必牙诸般算法八部等。有些学者认为“兀忽列的”就是Euclid的音译,因此欧几里得《几何原本》15卷已在元代传入我国②。后三种着作中,“罕答昔牙”意为几何学,“呵些必牙”意为算法,但究竟具体是哪些数学着作还有待于进一步的考证。元朝时,阿拉伯数码也曾传入我国。1956年,在西安市郊元朝安西王府旧址发掘出五块铁板,上面都刻画有用东阿拉伯数码表示的六行纵横图(亦称幻方,同行、同列及同一对角线上的数字之和均为111,见下图)。这类铁板可能是王府人员作为驱魔避邪用的器物。1980年上海浦东陆家嘴又出土一枚可佩戴的玉挂,上面刻有四行纵横图,所用数字亦为东阿拉伯数码③。但是,这种阿拉伯数码并没有被当时的人们所广泛使用,至于其纵横图的来源则尚无人研究。在明西安出土的铁板刻文及据以译出的现代纵横图代的一些着作中还介绍了在伊斯兰国家通行的“土盘算法”,“格子算”,球面三角法和角度的六十进制等。但总的来说,中世纪阿拉伯数学在中国的影响,远不如它对欧洲数学所产生的巨大影响。 在阿拉伯数学传入中国的同时,中国数学自然也会传入伊斯兰国家。十三世纪中叶,蒙古军队西进占领巴格达之后,旭烈兀汗建立了马拉盖天文台,并任命着名天文学家和数学家纳速拉丁·图西主持工作,编制了着名的《伊儿汗历表》。这个天文台拥有四名中国天文学家,据记载,“旭烈兀汗曾自中国携有中国天文学家数人至波斯,其中最着名者为Faomoun-dji博士,即当时人称为先生者是已。纳速剌丁之能知中国纪元及其天文历数者,盖得之于是人也。”①这些人除天文历法外也必定熟悉中国数学,并且会把中国的数学知识传播给其他国家的数学家和天文学家。此外,中国数学曾对于印度数学产生过重要影响。八世纪之后,印度数学知识不断传入各伊斯兰国家,印度数学家如婆罗摩笈多等的着作被译成了阿拉伯文。现在在流传至今的中亚数学家的一些数学着作中,仍然可以找到诸如与中国古代的十进位值制记数法、分数记法、四则运算、三率法、盈不足术、重差术、百鸡问题等极其相似的数学内容和算法,这些很可能是直接从中国或通过印度这两条途径传入伊斯兰国家的。在十五世纪,兀鲁伯修建了撒马尔罕天文台,着名数学家和天文学家阿尔·卡西是这个天文台的主持人。在阿尔·卡西的名着《算术之钥》中,有些数学内容如除法、开平方和开立方法、“契丹算法”、“百鸡问题”等都有吸收了中国古代数学成就的痕迹。尤其是高次开方法,开方不尽时命分的方法:araraannnn+.++-等等,更和宋元算书的内容完全相同①。而这些数学知识,在当时除了宋元算书外,还没有任何其他国家的数学着作提到过。因此有理由认为,与古希腊和印度数学一样,中国数学也曾给予阿拉伯数学以一定的影响。而阿拉伯数学在世界数学史上占有公认的重要地位,它对欧洲数学的发展起了巨大的推动作用。

最近几周,我带着六年级的女儿和四年级的儿子,还有一些孩子们,对本学期他们所学过的数学知识进行系统复习。

九章算术是我国古代的一部数学专著。这部数学专著系统的总结了从先秦到东汉初期的数学成就,它是许多数学家研究的结晶。经过多次修改、补充(以西汉前期著名数学家张苍、耿寿昌等人对它进行的增删最为重要)。正式成书大约在公元一世纪即东汉和帝时。这部专著记载了九类问题,共二百四十六个题目的解法。分为《方田》,讲各种形状田地面积的计算;《粟米》,讲不同粮食的交易如何换算;《衰分》,讲分配比例的算法;《少广》,讲开平方和开立方;《均输》,讲粟米、徭役征收的计算法;《方程》,讲联立一次方程的解法;《商功》,讲各种体积的计算;《盈不足》,讲亏盈类问题的解法;《勾股》,讲勾股定理的应用问题。全书内容包括了现在初等数学中算术、代数、几何的大部分。书中关于分数四则运算、联立一次方程的解法、负数概念的运用和正负加减法等,都具有世界意义的成就。目前,这部专著已经 成为世界数学名著。

在这个过程中,我发现了一些普遍不足现象,同时发现了如何引导孩子们把复习当学习、培养对数学的兴趣、提高对知识点的理解应用水平的办法。

版权声明:本文由必发bifa88网页版发布于历史事件,转载请注明出处:讲亏盈类问题的解法,对本学期他们所学过的数